Collatz Conjecture의 기하학적 패턴을 구현한 Polar Coordinate 시각화

Context

Collatz Conjecture 궤적의 개별적 무작위성으로 인해 전체 구조 파악이 어려움. 단순 나열 방식의 그래프로는 수열의 숨겨진 규칙성과 기하학적 패턴 발견에 한계 존재.

Technical Solution

• $2^n$ 범위를 기준으로 Zone을 분리하고 floor(log2(v)) 함수를 통해 원형 링 구조로 매핑하는 설계
• 각 Zone 내 숫자의 상대적 위치를 원주 상의 각도로 변환하는 선형 매핑 방식 적용
• 역방향 BFS(Inverse BFS) 알고리즘을 활용하여 시드 숫자로부터 이전 단계의 수들을 추적하는 Bottom-up 생성 전략
• 누락된 홀수 데이터를 보완하기 위해 정방향 Collatz 스텝을 통해 기존 노드와 병합하는 2차 트래버설 패스 수행
• $3n+1$ 규칙 적용 시 나타나는 Droplet 형태의 구조적 축과 기하학적 대칭성 분석

Impact

• 메모리 제약 환경에서 $2^{14}$에서 $2^{15}$ Zone까지의 데이터 매핑 성공

Key Takeaway

무작위성이 강한 데이터셋도 적절한 좌표계 변환과 도메인 특화 매핑 전략을 통해 내재된 구조적 패턴을 가시화할 수 있음.